پروژه استفاده از کنترل کننده‌های پارامتری برای دست یابی به درجات آزادی مناسب در طراحی کنترل کننده ها

(1-1) مقدمه

طراحی کنترل کننده های مقاوم، یکی از اساسی ترین مسائل در طراحی سیستم های کنترل است. یکی از علایق طراحان سیستم های کنترل این است که کنترل کننده به نوعی طراحی شود که دارای حداقل حساسیت یا به عبارت دیگر بیشترین مقاومت در برابر اختلالات وارده بر سیستم باشد. در این راستا یکی از روش ها استفاده از کنترل کننده‌های پارامتری، به منظور دست یابی به درجات آزادی مناسب در طراحی کنترل کننده ها است. آنگاه این پارامترها به روش های متنوعی به گونه ای محاسبه و جایگزین می شوند که مقاومت مورد انتظار البته با حفظ پایداری سیستم میسر گردد. در این راستا تلاش های زیادی توسط دانشمندان و مهندسان کنترل انجام شده است، که از آن جمله می توان به افرادی مانند، ماین و مردوخ[1] در سال1970، ماکی و وندویچ[2] در سال1974، بارنت[3] در سال1975، گورشیانکار و رامر[4] در سال1976، مونرو[5] در سال 1976، ونهام[6] در سال1979، فلام[7] در سال1980، وارگا[8] 1981، فاهمی و اوریلی در[9] سال1982، کاوتسکی و نیکلوس[10] در1983،1984 و آمین و الابدال [11]در سال1988، کرباسی و بل[12] در1993 اشاره کرد. در این فصل دو الگوریتم برای محاسبه پاسخ مقاوم در مسأله کنترل کننده های پس خورد حالت خطی چند متغیره ارائه می دهیم در همه حالات ماتریس پس خورد با تخصیص بردارهای ویژه متناظر با مقادیر ویژه مورد نیاز به گونه ای محاسبه می گردد که ماتریس بردارهای ویژه نامنفرد، خوش وضع باشند در این روش طیف مقادیر ویژه به گونه ای تخصیص داده می شود که اولاً سیستم کنترل پذیر باشد ثانیاً حساسیت این مقادیر که متناظر حساسیت کنترل کننده است، حداقل باشد. لذا در بخش بعدی مسأله تخصیص مقادیر ویژه به صورت مفصل تعریف می شود. این فصل دارای دو بخش است که در بخش اول یعنی بخش (2-1) مسأله تخصیص مقادیر ویژه مقاوم برای سیستم های حلقه بسته مطرح می شود در طی فصل با تعریف مقاومت بهینه و بیان معیارهای مقاومت آمادگی لازم را برای ورود به بحث بخش بعدی یعنی بخش (3-1) را مهیا می کند. در بخش (3-1) کنترل کننده های مقاوم با استفاده از دو الگوریتم پیشنهادی در تخصیص مقاوم مقادیر ویژه طراحی می گردند که در یکی از الگوریتم ها یعنی الگوریتم دوم لازم است که یک مسأله کمترین مربعات خطی حل شود که در این راستا الگوریتم ژنتیک، GA ، یکی از ابزارهای کمک کننده است. و در نهایت با بیان دو مثال کاربردهای این بخش را نمایش می دهیم. (2-1) تخصیص مقادیر ویژه مقاوم[13]: (1-2-1) مسأله پس خورد حالت مقاوم: سیستم چند متغیر خطی ناوردای زمانی زیر را در نظر بگیرید.

به طوری کهu,x بردارهایm,n بعدی هستند و B,A به ترتیب ماتریس های حقیقیهستند بدون کاستن از کلیت مسأله فرض کنید ماتریسB یک ماتریس رتبه کامل باشد. رفتار سیستم (1) با استفاده از مقادیر ویژه سیستمA مدیریت می گردد. اما قاعدتاً هدف آن است که این مقادیر ویژه به گونه ای تخصیص داده شوند که سیستم پایدار باشد در این راستا از یک کنترل کننده مانندk به گونه ای استفاده می‌کنند که،

به ماتریسk ماتریس پس خورد حالت یا ماتریس بهره گویند حال با ترکیب روابط (1) و (2) داریم.

به ماتریسA+BK ماتریس حلقه بسته سیستم (1)و(2) گویند. لذا مسأله تخصیص مقادیر ویژه پس خورد حالت را به صورت زیر بیان می کنیم.   (2-2-1) بیان مسأله: ماتریس های حقیقیB,A که به ترتیبهستند و یک مجموعه ازn مقدار حقیقی را در نظر بگیرید ماتریس حقیقیn*K,m را چنان بیابید به طوری که مقادیر ویژهA+BK همان اعداد مجموعهL باشند. تعریف (1-2-1): سیستم بیان شده توسط معادلات (1)و (2) را کاملاً کنترل پذیر[14] گویند اگر و فقط اگر ماتریس

رتبه کامل باشد به عبارت دیگر

به عبارت دیگر یک جوابK برای مسأله (2-2-1) وجود دارد اگر و فقط اگر برای هر مجموعه دلخواه L از اعداد مختلط خود مکمل داشته باشیم.

در واقع اگر(A,B)  کنترل پذیر نباشد یعنی موجود باشد به طوری که و همچنینS^TB=o آنگاه برای هر مقدارK  برقراراست. به عبارت یک مقدار ویژه A+BK به ازای هر Kاست لذا مدیریت در کنترل طراح نیست و به مقدار ویژه  یک مقدار ویژه کنترل ناپذیر گویند. هدف اصلی ما ارائه روشی برای تخصیص این مقادیر ویژه است به طوری که حداکثر مقاومت یا به عبارت دیگر حداقل حساسیت  را داشته باشد که در این صورت گویند سیستم حلقه بسته مقاوم است و ماتریس پس خورد حالت مربوط به این طیف را ماتریس کنترل کننده مقاوم می نامند. فرض کنید برایj=1,2,3,...,n  به ترتیب بردارهای ویژه و بردارهای ویژه معکوس ماتریس حلقه بسته متناظر با مقدار ویژهx_j از طیفL باشند. به عبارت دیگر،

اگر یک ماتریس غیر ناقص[15] باشد یعنیn بردار ویژه مستقل خطی داشته باشد آنگاه قطری شدنی است. می توان نشان داد که حساسیت مقدار ویژهدر مقابل اختلالات وارده به مؤلفه هایK,B,A  وابسته به قدر مطلق مولفهj ام بردار عدد شرطیC  یعنیC_j است. به طوری که:

برای مقادیر ویژه حقیقیحساسیتSj دقیقاً کسینوس زاویه میان بردارهای ویژه و بردارهای ویژه معکوس متناظر است. به طور دقیق تر اگر یک اختلال با مرتبه ()O در مؤلفه های ماتریس ایجاد شود آنگاه متناظر آن اختلال ایجاد شده در مقدار ویژه از مرتبه  خواهد بود. اگر ناقص باشد آنگاه خطا حداقل برابر است و لذا اصولاً سیستم های ناقص از مقاومت کمتری نسبت به سیستم های غیر ناقص برخوردارند[16]. یک کران بالا برای حساسیت مقادیر ویژه توسط رابطه زیر داده شده است.

که در آنk₂(x) عدد شرطی ماتریس بردارهای ویژه یعنیx=[x₁,x₂,...,x_n] می باشد. قابل توجه اینکه حداقلC_j برابر عدد یک است و این زمانی حاصل می شود که یک ماتریس نرمال باشد یعنی در چنین وضعیتی ستون های ماتریسX  یک پایه متعامد که برایIRⁿ تشکیل می دهند. و لذاk (X)=1 در ادامه مسأله تخصیص مقادیر ویژه مقاوم را فرموله خواهیم کرد.

(3-2-1) بیان مسأله تخصیص مقادیر ویژه مقاوم

جفت(A,B) و طیف مقادیر ویژه داده شده اند ماتریس حقیقیK و ماتریس نامنفردX صادق در رابطه

که در آن ماتریس قطری طیف مقادیر ویژه است را چنان بیابید که یکی از معیارهای مقاومت یا عدد شرطی را بهینه کند. یکی از این معیارها را می توان که در آنC بردار مقادیر شرطی متناظر با بردار ویژه انتخاب شده است، در نظر گرفت یکی دیگر از معیارها را می توان که عدد شرطی بردار ویژهx می باشد در نظر گرفت بقیه معیارهای مقاومت در بخش (6-2-1) کاملاً توصیف خواهند شد. نکته قابل توجه آن است که تخصیص بردار ویژه باید به گونه ای باشد که ماتریس حلقه بستهA+BK غیر ناقص باشد که این موضوع مستلزم شرایط بسیار ساده ای روی مقادیر ویژه تکراری خواهد بود که در بخش های بعدی به طور مفصل شرح داده خواهد شد. (4-2-1) بیان مسأله تخصیص ساختارهای[17]  ویژه مقاوم جفت ماتریس های حقیقی(A,B)  و طیف مقادیر ویژهL داده شده اند هدف ما انتخاب بردارهای ویژه متناظر طیفL صادق در رابطه(10) است به طوری که یکی از معیارهای وضعیت گفته در بخش قبل یا یکی از معادل های آنها که در بخش (6-2-1) گفته خواهد شد حداقل شوند. به ویژه آنکه هیچ گونه محدودیتی باید روی کنترل پذیری زوج(A,B)  اعمال kشود. سؤال بدیهی و اساسی که ممکن است پرسیده شود آن است که تحت چه شرایطی ماتریس نامنفرد داده شدهX را می توان به عنوان جوابی برای مسأله تخصیص در نظر گرفت. قضیه زیر این مسأله را به خوبی تشریح می کند. (1-4-2-1) قضیه ماتریس طیف مقادیر ویژه و ماتریس نامنفردX داده شده اند. آنگاه ماتریس K وجود دارد، یک جواب برای(10)، اگر و فقط اگر

به طوری که؛

به طوری که یک ماتریس متعامد  وR یک ماتریس نامنفرد است. آنگاهK با رابطه صریح زیر داده می شود.

اثبات[ 12] فرض کنیدB یک ماتریس رتبه کامل باشد آنگاه با استفاده از تجزیهQR تجزیه رابطه(12) حاصل خواهد شد لذا با توجه به رابطه (10) خواهیم داشت.